miércoles, 2 de julio de 2014

Integrales multiples

DEFINICIÓN:

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en ésta). Por ejemplo, si n=2, el volumen situado entre la superficie definida por x_3 = f(x_1,x_2) y una región T en el plano x_1x_2 es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, f está definida en T.
T puede dividirse en una partición interior \Delta formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma ||\Delta|| de esta partición está dada por la diagonal más larga en las msubregiones.
Si se toma un punto (x_{1i}, x_{2i},..., x_{ni}) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones \Delta x_{1i}\Delta x_{2i} ...\Delta x_{ni}para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:
f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta A_{i} = f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) y la regiónTmediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:
\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:
\lim_{m \to \infty}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni} = \lim_{\|\Delta\| \to 0}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo \varepsilon > 0  existe un \delta > 0 tal que
\left | L -\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni} \right \vert < \varepsilon
para toda partición \Delta de la regiónT(que satisfaga ||\Delta|| < \delta), y para todas las elecciones posibles de (x_{1i}, x_{2i},..., x_{ni}) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:
Sifestá definida en una región cerrada y acotadaTdel definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral defsobreTestá dada por:
\iint \ldots \int_{T} \,f(x_1,\ldots,x_n) dx_1 \ldots \,dx_n = \lim_{\|\Delta\| \to 0}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice quefes integrable con respecto a T.

PROPIEDADES:

Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:
1.
\iint \ldots \int_D\;c f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 dx_2 \ldots dx_n = c \iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 dx_2 \ldots dx_n
2.
\iint \ldots \int_{D} \,[f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \pm g(x_1,x_2,\ldots,x_n)] dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n =
\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n \pm \iint \ldots \int_{D} \,g(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\, dx_2 \ldots \,dx_n
3.
Si \quad f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \geq 0, entonces:
\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n \geq 0
4.
Si \quad f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \geq g(x_1,x_2,\ldots,x_n), entonces:
\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n \geq \iint \ldots \int_{D} \,g(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n
5.
Sea D la unión entre dos regiones, D1 y D2, que no solapan entre sí, entonces:
\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\, dx_2 \ldots \,dx_n =
\iint \ldots \int_{D_1} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1 \,dx_2 \ldots \,dx_n + \iint \ldots \int_{D_2} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n


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Calculo integral de funciones de varias variables

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(De la Universidad Granada)
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Derivadas parciales

una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
\frac{ \partial f }{ \partial x } = \partial_xf = f'_{x}
Donde \scriptstyle \partial es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:
A = f\left(x,y,z,...\right)
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

NOTACIÓN:

Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.
  • Derivadas parciales de primer orden:
\frac{\part f}{\part x} = f'_x = \part_x f
Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:
\frac{\part^2 f}{\part x^2} = f''_{xx} = \part_{xx} f, \qquad \frac{\part^2 f}{\part y^2} = f''_{yy} = \part_{yy} f,
Derivadas cruzadas de segundo orden:
\frac{\part^2 f}{\part x\part y} = f''_{yx} = \part_{xy} f, \qquad \frac{\part^2 f}{\part y\part x} = f''_{xy} = \part_{yx} f,


DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
A su vez, la derivada parcial \part_{x_i} f puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadasparciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwarz.
\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.
En R2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:
\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy} = f_{yx}



AQUI UNOS EJERCICIOS DE DERIVADAS PARCIALES.


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