Analisis Matemático I: julio 2014

lunes, 7 de julio de 2014

Integración doble - Cambio de variable

AQUI LES DEJO TEORÍA Y PRACTICA

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APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA SUPERIOR A LA INGENIERÍA FORESTAL

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SÍLABO DE ANALISIS MATEMÁTICO I - ING. DE TRANSPORTES / UNFV

Silabus Mate by aldochy

miércoles, 2 de julio de 2014

El Polinomio Villareal

El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:

Elevación de Polinomios
Transformación de Imaginarias
Volumen de Cuerpos Regulares
Integración por Partes

En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:

Sea $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:

$(P(x))^m=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^m\ \ \ \ m\in\Bbb R\ \ \vee\ \ m\in\Bbb C$

la expresión resultante la denotamos por:

$(P(x))^m=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots$

Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.

El método de villarreal establece previamente una simbología:

El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: ${b_0} = {a_0}^m$ .
Dividase el $2^{do}$ término del polinomio entre el primero y llámese el cociente $C^{\prime}$ , dividase el $3^{er}$ término entre el primero y sea el cociente $C^{\prime\prime}$ , el cuarto término entre el primero y sea el cociente $C^{\prime\prime\prime}$ …. es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.
Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma i tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,… por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.
Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo termino ${b_{r - 1}}$ multiplicado por el primer cociente C’ y por el índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{i - r}}{r}$ , el penúltimo término ${b_{r - 2}}$ multiplicado por el segundo cociente C’’ y por el segundo índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{2i - r}}{r}$ , el antepenúltimo término ${b_{r - 3}}$ multiplicado por el tercer cociente C’’’ y por el tercer índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{3i - r}}{r}$ , ……., así tendremos: $b_r=b_{r-1}C'\frac{i-r}{r}+b_{r-2}C''\frac{2i-r}{r}+b_ {r-3}C'''\frac{3i-r}{r}+\cdots$

EJEMPLO:

Supongamos que deseamos obtener $\sqrt{3}$ con una cierta aproximación (por definir), entonces podemos proceder de la siguiente manera:

Considerar $\sqrt{3}$ como el resultado de sacar la raíz cuadrada a la evaluación en un determinado valor de la variable x del polinomio $P(x)=(1+x+x^2)$ , es decir: $\sqrt{3}=(P(1))^{1/2}=(1+1+1)^{1/2}$
La expresión resultante es una serie infinita, cuyos terminos podemos calcular uno a uno mediante el método de Villarreal.

Para hacer los cálculos respectivos fijamos la simbología establecida anteriormente:

$C^{\prime}=1/1=1$

$C ^{\prime\prime}=1/1=1$

$i=1/2+1=3/2$

$2i=2\times3/2=3$

Ahora recurrimos al método de Villarreal:

$b_0=1^{1/2}=1$

$b_1=1\times1\times\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{1/2}=2$

$b_2=2\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}+1\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}= 6$

$\vdots$

Luego obtendremos el siguiente resultado:

$(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2}=1+2x+6x^2+\cdots$

Para poder hacer la aproximación adecuada consideramos la condición de convergencia de Newton:

$(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2}$ converge $\Longleftrightarrow \left|x+x^2\right|\leq 1$

es decir se dá la convergencia si : $-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Luego si hacemos $x=-1/2$ en la expresión resultante:

$(P(-1/2))^{1/2}=1+(-1/2)+(-1/2)^2+\cdots \approx 1.5$

Esto significa que la convergencia será mas adecuada si tomasemos más términos en la expresión resultante

Matriz Hessiana

NOTACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES

Primeramente se aclaran las notaciones que se pueden utilizar y que representan lo mismo al trabajar con derivadas parciales:

MATRIZ HESSIANA DE DOS VARIABLES

Si tenemos un ejercicio con dos variables, obtendremos una matriz hessiana 2 x 2. Si el ejercicio fuera de tres variables, la matriz gesiana será 3 x 3, y así sucesivamente. Para el caso de dos variables, la matriz hessiana 2 x 2 se genera de la siguiente manera:

En este trabajo se estará usando la notación que aparece en el miembro izquierdo de las ecuaciones por considerarlo más sencillo de comprender a primera vista.

MATRIZ HESSIANA DE TRES VARIABLES

Antes de presentar ejemplos, se muestra la matriz resultante cuando se trabaja con ejercicios o problemas de tres variables. La matriz hessiana será de 3 x 3 y queda de esta forma:

SIGNIFICADO DE CADA ELEMENTO DE LA MATRIZ HESSIANA DE TRES VARIABLES

Con el objetivo de explicar cada detalle con la mayor claridad posible, se expresa el significado de cada uno de los elementos que aparecen dentro de la matriz:

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a x nuevamente.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a y nuevamente.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a z nuevamente.

NOTA: Es bueno tomar en cuenta que:

, …

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE MATRIZ HESSIANA

Encontrar los máximos y mínimos (si los hay) de la función:

f(x,y,z) = x² + y² + 7z² - xy

Solución:

Calculando las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que tiene la función original:

Igualando a cero las primeras derivadas:

22x – y = 0

2y – x = 0

14z = 0

Simultanear las ecuaciones anteriores para encontrar los valores de x, y y z, que serán las coordenadas de los puntos críticos:

Al simultanear las ecuaciones obtenemos que los valores de x, y y z (osea los puntos críticos) son:

x = 1/3

y = 2/3

z = 0

Esto significa que las coordenadas del punto crítico son: f(1/3,2/3,0).

Calcular las segundas derivadas en el punto crítico para generar la matriz hessiana:

Resolver la matriz hessiana tal como se resuelve la determinante de una matriz cuadrada:

H(x,y,z) = -6

Sacar conclusiones de la respuesta obtenida:

La determinante de la matriz hessiana H(x) o de 1x1 da como resultado – 2 (resultado negativo).

La determinante de la matriz hessiana H(x,y) o de 2x2 da como resultado 3 (resultado positivo).

La determinante de la matriz hessiana H(x,y,z) o de 3x3 da como resultado -6 (resultado negativo).

Anteriormente se explicó que "Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo), entonces la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico." Tal como se acaba de ver, los signos se alternan porque tenemos -2, +3 y -6, lo cual significa que la función la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico.

Conclusión de la resolución del ejercicio:

La función f(x,y,z) = x² + y² + 7z² - xy es o tiene un máximo en el punto crítico (1/3,2/3,0).

AQUI UNOS VIDEOS DE EJERCICIOS RESUELTOS