NOTACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES
Primeramente se aclaran las notaciones que se pueden utilizar y que representan lo mismo al trabajar con derivadas parciales:
:
Si tenemos un ejercicio con dos variables, obtendremos una matriz hessiana 2 x 2. Si el ejercicio fuera de tres variables, la matriz gesiana será 3 x 3, y así sucesivamente. Para el caso de dos variables, la matriz hessiana 2 x 2 se genera de la siguiente manera:
En este se estará usando la notación que aparece en el miembro izquierdo de las ecuaciones por considerarlo más sencillo de comprender a primera vista.
Antes de presentar ejemplos, se muestra la matriz resultante cuando se trabaja con ejercicios o problemas de tres variables. La matriz hessiana será de 3 x 3 y queda de esta forma:
Con el objetivo de explicar cada detalle con la mayor claridad posible, se expresa el significado de cada uno de los elementos que aparecen dentro de la matriz:
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a x nuevamente.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a y nuevamente.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a z nuevamente.
NOTA: Es bueno tomar en cuenta que:
, , , …
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE MATRIZ HESSIANA
Encontrar los máximos y mínimos (si los hay) de la función:
f(x,y,z) = x² + y² + 7z² - xy
Solución:
Calculando las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que tiene la función original:
Igualando a cero las primeras derivadas:
22x – y = 0
2y – x = 0
14z = 0
Simultanear las ecuaciones anteriores para encontrar los valores de x, y y z, que serán las coordenadas de los puntos críticos:
Al simultanear las ecuaciones obtenemos que los valores de x, y y z (osea los puntos críticos) son:
x = 1/3
y = 2/3
z = 0
Esto significa que las coordenadas del punto crítico son: f(1/3,2/3,0).
Calcular las segundas derivadas en el punto crítico para generar la matriz hessiana:
Resolver la matriz hessiana tal como se resuelve la determinante de una matriz cuadrada:
H(x,y,z) = -6
Sacar conclusiones de la respuesta obtenida:
La determinante de la matriz hessiana H(x) o de 1x1 da como resultado – 2 (resultado negativo).
La determinante de la matriz hessiana H(x,y) o de 2x2 da como resultado 3 (resultado positivo).
La determinante de la matriz hessiana H(x,y,z) o de 3x3 da como resultado -6 (resultado negativo).
Anteriormente se explicó que "Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo), entonces la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico." Tal como se acaba de ver, los signos se alternan porque tenemos -2, +3 y -6, lo cual significa que la función la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico.
Conclusión de la resolución del ejercicio:
La función f(x,y,z) = x² + y² + 7z² - xy es o tiene un máximo en el punto crítico (1/3,2/3,0).
AQUI UNOS VIDEOS DE EJERCICIOS RESUELTOS
La segunda derivada parcial en z es -2? Es decir Fzz=-2? Porque debería ser 14, derivada de 7z^2 es igual a 14z y la derivada de 14z es 14, no se si me entiendas.
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