Analisis Matemático I: Derivadas parciales

una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

$\frac{ \partial f }{ \partial x } = \partial_xf = f'_{x}$

Donde

\scriptstyle \partial

es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud

A

es función de diversas variables (

x

y

z

...

), es decir:

$A = f\left(x,y,z,...\right)$

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función

A

en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

NOTACIÓN:

Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.

Derivadas parciales de primer orden:

$\frac{\part f}{\part x} = f'_x = \part_x f$

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

$\frac{\part^2 f}{\part x^2} = f''_{xx} = \part_{xx} f, \qquad \frac{\part^2 f}{\part y^2} = f''_{yy} = \part_{yy} f,$

Derivadas cruzadas de segundo orden:

$\frac{\part^2 f}{\part x\part y} = f''_{yx} = \part_{xy} f, \qquad \frac{\part^2 f}{\part y\part x} = f''_{xy} = \part_{yx} f,$

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

A su vez, la derivada parcial

\part_{x_i} f

puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C²; en este caso, las derivadas parciales (llamadasparciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwarz.