miércoles, 2 de julio de 2014

Integrales multiples

DEFINICIÓN:

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en ésta). Por ejemplo, si n=2, el volumen situado entre la superficie definida por x_3 = f(x_1,x_2) y una región T en el plano x_1x_2 es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, f está definida en T.
T puede dividirse en una partición interior \Delta formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma ||\Delta|| de esta partición está dada por la diagonal más larga en las msubregiones.
Si se toma un punto (x_{1i}, x_{2i},..., x_{ni}) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones \Delta x_{1i}\Delta x_{2i} ...\Delta x_{ni}para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:
f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta A_{i} = f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) y la regiónTmediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:
\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:
\lim_{m \to \infty}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni} = \lim_{\|\Delta\| \to 0}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo \varepsilon > 0  existe un \delta > 0 tal que
\left | L -\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni} \right \vert < \varepsilon
para toda partición \Delta de la regiónT(que satisfaga ||\Delta|| < \delta), y para todas las elecciones posibles de (x_{1i}, x_{2i},..., x_{ni}) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:
Sifestá definida en una región cerrada y acotadaTdel definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral defsobreTestá dada por:
\iint \ldots \int_{T} \,f(x_1,\ldots,x_n) dx_1 \ldots \,dx_n = \lim_{\|\Delta\| \to 0}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice quefes integrable con respecto a T.

PROPIEDADES:

Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:
1.
\iint \ldots \int_D\;c f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 dx_2 \ldots dx_n = c \iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 dx_2 \ldots dx_n
2.
\iint \ldots \int_{D} \,[f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \pm g(x_1,x_2,\ldots,x_n)] dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n =
\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n \pm \iint \ldots \int_{D} \,g(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\, dx_2 \ldots \,dx_n
3.
Si \quad f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \geq 0, entonces:
\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n \geq 0
4.
Si \quad f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \geq g(x_1,x_2,\ldots,x_n), entonces:
\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n \geq \iint \ldots \int_{D} \,g(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n
5.
Sea D la unión entre dos regiones, D1 y D2, que no solapan entre sí, entonces:
\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\, dx_2 \ldots \,dx_n =
\iint \ldots \int_{D_1} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1 \,dx_2 \ldots \,dx_n + \iint \ldots \int_{D_2} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n


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